Em matemática, mais especificamente na teoria de anéis, um ideal maximal é um ideal que é maximal (com relação à inclusão de conjuntos) dentre todos os ideais próprios. Em outras palavras, I é um ideal maximal de um anel R se não existirem outros ideais contidos entre I e R. Os ideais maximais são importantes porque os quocientes de anéis por ideais maximais são anéis simples, e no caso especial de anéis comutativos com unidade, eles também são corpos. O conjunto de ideais maximais de um anel comutativo com unidade R é conhecido como o espectro maximal de R e é denotado de várias formas como m-Spec R, Specm R, MaxSpec R ou Spm R; quando equipado com a topologia de Zariski, é o subespaço do espectro primo Spec R de ideais primos que consiste apenas em seus pontos fechados. Na teoria dos anéis não comutativos, um ideal maximal à direita é definido de forma análoga como sendo um elemento maximal no conjunto parcialmente ordenado (poset) dos ideais próprios à direita, e similarmente, um ideal maximal à esquerda é definido como um elemento maximal do conjunto parcialmente ordenado dos ideais próprios à esquerda. Como um ideal maximal unilateral A não é necessariamente bilateral, o quociente R/A não é necessariamente um anel, mas é um módulo simples sobre R. Se R possui um único ideal maximal à direita, então R é conhecido como um anel local, e o ideal maximal à direita é também o único ideal maximal à esquerda e o único ideal maximal bilateral do anel, sendo de fato o radical de Jacobson J(R). É possível que um anel tenha um único ideal maximal bilateral e ainda assim não possua ideais maximais unilaterais únicos: por exemplo, no anel de matrizes quadradas 2 por 2 sobre um corpo, o ideal nulo é um ideal maximal bilateral, mas existem muitos ideais maximais à direita.
Definição Existem outras formas equivalentes de expressar a definição de ideais maximais unilaterais e bilaterais. Dado um anel R e um ideal próprio I de R (isto é, I ≠ R), I é um ideal maximal de R se qualquer uma das seguintes condições equivalentes for satisfeita:
Não existe nenhum outro ideal próprio J de R tal que I ⊊ J. Para qualquer ideal J com I ⊆ J, ou J = I ou J = R. O anel quociente R/I é um anel simples. Existe uma lista análoga para ideais unilaterais, para a qual apenas as versões à direita serão dadas. Para um ideal à direita A de um anel R, as seguintes condições são equivalentes a A ser um ideal maximal à direita de R:
Não existe nenhum outro ideal próprio à direita B de R tal que A ⊊ B. Para qualquer ideal à direita B com A ⊆ B, ou B = A ou B = R. O módulo quociente R/A é um R-módulo à direita simples. Ideais maximais à direita/à esquerda/bilaterais são a noção dual à de ideais minimais.
Exemplos Se F é um corpo, então o único ideal maximal é {0}. No anel Z dos números inteiros, os ideais maximais são os ideais principais gerados por um número primo. Mais geralmente, todos os ideais primos não nulos são maximais em um domínio de ideais principais. O ideal
( 2 , x )
{\displaystyle (2,x)}
é um ideal maximal no anel
Z
[ x ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
. Geralmente, os ideais maximais de
Z
[ x ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
são da forma
( p , f ( x ) )
{\displaystyle (p,f(x))}
onde
p
{\displaystyle p}
é um número primo e
f ( x )
{\displaystyle f(x)}
é um polinômio em
Z
[ x ]
{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}
que é irredutível módulo
p
{\displaystyle p}
. Todo ideal primo é um ideal maximal em um anel booleano, ou seja, um anel consistindo apenas de elementos idempotentes. De fato, todo ideal primo é maximal em um anel comutativo
R
{\displaystyle R}
sempre que existir um inteiro
n > 1
{\displaystyle n>1}
tal que
x
n
= x
{\displaystyle x^{n}=x}
para qualquer
x ∈ R
{\displaystyle x\in R}
. Os ideais maximais do anel de polinômios
C
[ x ]
{\displaystyle \mathbb {C} [x]}
são ideais principais gerados por
x − c
{\displaystyle x-c}
para algum
c ∈
C
{\displaystyle c\in \mathbb {C} }
. Mais geralmente, os ideais maximais do anel de polinômios
K [
x
1
, ... ,
x
n
]
{\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}
sobre um corpo algebricamente fechado K são os ideais da forma
(
x
1
−
a
1
, ... ,
x
n
−
a
n
)
{\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}
. Este resultado é conhecido como a forma fraca do Nullstellensatz (Teorema dos Zeros de Hilbert). Ainda mais geralmente, seja K um corpo algebricamente fechado,
V ⊆
K
n
{\displaystyle V\subseteq K^{n}}
um conjunto algébrico afim, e
I
( V )
{\displaystyle \mathrm {I} (V)}
o ideal de polinômios em
K [
x
1
, ... ,
x
n
]
{\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}
que se anulam em V. Então os ideais maximais do anel de coordenadas
K [ V ] = K [
x
1
, ... ,
x
n
]
/
I
( V )
{\displaystyle K[V]=K[x_{1},\dots ,x_{n}]/\mathrm {I} (V)}
são da forma
m
a
= (
x
1
̄
−
a
1
, ... ,
x
n
̄
−
a
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=({\overline {x_{1}}}-a_{1},\dots ,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}
, onde
a = (
a
1
, ... ,
a
n
) ∈ V
{\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V}
, e
x
i
̄
{\displaystyle {\overline {x_{i}}}}
são as imagens de
x
i
{\displaystyle x_{i}}
sob o mapa de projeção natural
K [
x
1
, ... ,
x
n
] → K [ V ]
{\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]\to K[V]}
. Portanto, há uma correspondência biunívoca
a ↔
m
a
{\displaystyle a\leftrightarrow {\mathfrak {m}}_{a}}
entre pontos
a ∈ V
{\displaystyle a\in V}
e ideais maximais
m
a
∈
S p m
( K [ V ] )
{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}\in \mathrm {Spm} (K[V])}
.
Propriedades Um ideal importante do anel chamado radical de Jacobson pode ser definido usando ideais maximais à direita (ou maximais à esquerda). Se R é um anel comutativo com unidade com um ideal m, então k = R/m é um corpo se e somente se m é um ideal maximal. Nesse caso, R/m é conhecido como o corpo residual. Este fato pode falhar em anéis sem unidade. Por exemplo,
4
Z
{\displaystyle 4\mathbb {Z} }
é um ideal maximal em
2
Z
{\displaystyle 2\mathbb {Z} }
, mas
2
Z
/
4
Z
{\displaystyle 2\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }
não é um corpo. Se L é um ideal maximal à esquerda, então R/L é um R-módulo à esquerda simples. Reciprocamente, em anéis com unidade, qualquer R-módulo à esquerda simples surge desta forma. A propósito, isto mostra que uma coleção de representantes de R-módulos à esquerda simples é de fato um conjunto, pois pode ser colocada em correspondência com parte do conjunto de ideais maximais à esquerda de R. Teorema de Krull (1929): Todo anel não nulo com unidade possui um ideal maximal. O resultado também é verdadeiro se "ideal" for substituído por "ideal à direita" ou "ideal à esquerda". Mais geralmente, é verdade que todo módulo finitamente gerado não nulo possui um submódulo maximal. Suponha que I seja um ideal que não é R (respectivamente, A é um ideal à direita que não é R). Então R/I é um anel com unidade (respectivamente, R/A é um módulo finitamente gerado), e assim os teoremas acima podem ser aplicados ao quociente para concluir que existe um ideal maximal (respectivamente, ideal maximal à direita) de R contendo I (respectivamente, A). O teorema de Krull pode falhar para anéis sem unidade. Um anel radical, ou seja, um anel no qual o radical de Jacobson é o anel inteiro, não possui módulos simples e, portanto, não possui ideais maximais à direita ou à esquerda. Veja ideais regulares para possíveis formas de contornar este problema. Em um anel comutativo com unidade, todo ideal maximal é um ideal primo. A recíproca nem sempre é verdadeira: por exemplo, em qualquer domínio de integridade que não seja um corpo, o ideal nulo é um ideal primo que não é maximal. Anéis comutativos nos quais os ideais primos são maximais são conhecidos como anéis de dimensão zero, onde a dimensão usada é a dimensão de Krull. Se k é um corpo, a pré-imagem de um ideal maximal de uma k-álgebra finitamente gerada sob um homomorfismo de k-álgebra é um ideal maximal. No entanto, a pré-imagem de um ideal maximal de um anel comutativo com unidade sob um homomorfismo de anéis não é necessariamente maximal. Por exemplo, seja
f :
Z
→
Q
{\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }
o mapa de inclusão e
n
= ( 0 )
{\displaystyle {\mathfrak {n}}=(0)}
em
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
. Então
n
{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
é maximal em
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
, mas
f
− 1
(
n
) = ( 0 )
{\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {n}})=(0)}
não é maximal em
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
. Um ideal maximal de um anel não comutativo pode não ser primo no sentido comutativo. Por exemplo, seja
M
n × n
(
Z
)
{\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}
o anel de todas as matrizes
n × n
{\displaystyle n\times n}
sobre
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
. Este anel tem um ideal maximal
M
n × n
( p
Z
)
{\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}
para qualquer primo
p
{\displaystyle p}
, mas este não é um ideal primo uma vez que (no caso
n = 2
{\displaystyle n=2}
)
A =
diag
( 1 , p )
{\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}
e
B =
diag
( p , 1 )
{\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}
não estão em
M
n × n
( p
Z
)
{\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}
, mas
A B = p
I
2
∈
M
n × n
( p
Z
)
{\displaystyle AB=pI_{2}\in M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}
. Contudo, os ideais maximais de anéis não comutativos são primos no sentido generalizado abaixo.
Generalização Para um R-módulo A, um submódulo maximal M de A é um submódulo M ≠ A que satisfaz a propriedade de que, para qualquer outro submódulo N, M ⊆ N ⊆ A implica N = M ou N = A. Equivalentemente, M é um submódulo maximal se e somente se o módulo quociente A/M é um módulo simples. Os ideais maximais à direita de um anel R são exatamente os submódulos maximais do módulo RR. Diferentemente dos anéis com unidade, um módulo não nulo não possui necessariamente submódulos maximais. No entanto, como notado acima, módulos não nulos finitamente gerados possuem submódulos maximais, e os módulos projetivos também possuem submódulos maximais. Assim como com anéis, pode-se definir o radical de um módulo usando submódulos maximais. Além disso, os ideais maximais podem ser generalizados definindo um sub-bimódulo maximal M de um bimódulo B como sendo um sub-bimódulo próprio de M que não está contido em nenhum outro sub-bimódulo próprio de M. Os ideais maximais de R são então exatamente os sub-bimódulos maximais do bimódulo RRR.
Referências
Bibliografia Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and categories of modules. Col: Graduate Texts in Mathematics. 13 2a ed. Nova Iorque: Springer-Verlag. pp. x+376. ISBN 0-387-97845-3. MR 1245487. doi:10.1007/978-1-4612-4418-9 Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Col: Graduate Texts in Mathematics. 131 2a ed. Nova Iorque: Springer-Verlag. pp. xx+385. ISBN 0-387-95183-0. MR 1838439. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0
